Знакоположительные ряды. Теоремы с равнения. Признаки сходимости Даламбера и Коши, интегральный признак

Ряд именуется знакоположительным, если все его члены Заметим, что если неравенства производятся, начиная с некого номера то заменив 1-ые его членов на произвольные положительные числа, создадим обозначенный ряд знакоположительным, при этом приобретенный ряд и начальный ряд будут сходиться либо расползается сразу.

12. Частичные суммы знакоположительного ряда образуют неубывающую последовательность.

Вправду, потому что (учитывать Знакоположительные ряды. Теоремы с равнения. Признаки сходимости Даламбера и Коши, интегральный признак, что ), то последовательность не убывает. Из характеристики7 вытекает последующее утверждение.

Общий признак сходимости знакоположительных рядов.Если последовательность частичных сумм знакоположительного ряда ограниченасверху, то это ряд сходится.

Замечание 2. Потому что последовательность частичных сумм знакоположительного ряда не убывает, то при расходимости соответственного ей ряда предел (почему?). В данном случае Знакоположительные ряды. Теоремы с равнения. Признаки сходимости Даламбера и Коши, интегральный признак считают, что сумма ряда

Аксиома сопоставления I.Пусть для рядов

выполнены неравенства

Тогда из сходимости ряда (3) вытекает сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (2) вытекает расходимость ряда (3).

Подтверждение. Пусть сходится ряд (3). Тогда последовательность его частичных сумм ограничена, т.е. существует неизменная такая, что

Беря во внимание неравенства (4), будем иметь т.е. последовательность Знакоположительные ряды. Теоремы с равнения. Признаки сходимости Даламбера и Коши, интегральный признак ряда (2) ограничена сверху. Отсюда (по общему признаку сходимости) следует, что ряд (2) сходится. Если сейчас ряд (2) расползается, то (потому что последовательность неубывающая). Переходя в неравенстве к лимиту при получаем, что и т.е. ряд (3) также расползается. Аксиома подтверждена.

Аксиома сопоставления II.Пусть для знакоположительных рядов

выполнены условия:

1) 2) существует предел

Тогда ряды (2) и (3) сразу Знакоположительные ряды. Теоремы с равнения. Признаки сходимости Даламбера и Коши, интегральный признак сходятся либо сразу расползаются.

Замечание 3.Обычно эта аксиома применяется в случае, когда последовательности и эквивалентны В данном случае При всем этом в качестве ряда (3) берут обобщенный гармонический ряд а для описания поведения общего члена ряда (2) пользуются таблицей 1 эквивалентных нескончаемых малых. Ниже будет показано, что обобщенный гармонический ряд Знакоположительные ряды. Теоремы с равнения. Признаки сходимости Даламбера и Коши, интегральный признак сходится, если и расползается при

Пример 1. Изучить на сходимость ряд

Решение.Имеем Неизменная не оказывает влияние на сходимость ряда (см. утверждение 11), потому ее можно не учесть. Ряд сходится, потому что а означает, и начальный ряд также сходится.

Сформулируем ещё три признака, которые применяются при исследовании сходимости рядов.

Признак Даламбера Знакоположительные ряды. Теоремы с равнения. Признаки сходимости Даламбера и Коши, интегральный признак.Пусть знакоположительный ряд такой, что и пусть существует (конечный либо нескончаемый) предел Тогда при обозначенный ряд сходится, а при он расползается. При ничего о сходимости данного ряда сказать нельзя; необходимы дополнительные исследования.

Признак Коши (предельный). Пусть знакоположительный ряд такой, что существует (конечный либо нескончаемый) предел Тогда при обозначенный ряд Знакоположительные ряды. Теоремы с равнения. Признаки сходимости Даламбера и Коши, интегральный признак сходится, а при он расползается. При ничего о сходимости данного ряда сказать нельзя; необходимы дополнительные исследования.

Интегральный признак сходимости Коши.Пусть для ряда выполнены последующие условия:

1) функция неотрицательна и непрерывна при

2) функция не растет на промежутке

Тогда ряд и интеграл сразу сходятся либо сразу расползаются. При всем этом имеет Знакоположительные ряды. Теоремы с равнения. Признаки сходимости Даламбера и Коши, интегральный признак место последующая оценка остатка

Воспользуемся этим признаком для исследования сходимости обобщенного гармонического ряда Составим функцию (заменив в натуральное число на ). Функция удовлетворяет условиям 1) и 2) интегрального признака Коши, потому ряд и несобственный интеграл сходятся либо расползаются сразу. Из прошлых лекций понятно, то эталонный интеграл сходится при и расползается при Означает, и обобщенный гармонический Знакоположительные ряды. Теоремы с равнения. Признаки сходимости Даламбера и Коши, интегральный признак ряд сходится, если и расползается при


[1] Тут и везде ниже натуральное число (номер).


zondirovanie-proshloj-zhizni.html
zoni-dlya-personala-i-obshestvennosti.html
zoni-inzhenernoj-i-transportnoj-infrastruktur.html